Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与 轴交于A（，0），B（2，0），且与轴交于点C.


（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
（2）点P是x轴下方的抛物线上一动点， 连接PO，PC，
并把△POC沿CO翻折，得到四边形，求出使四边形为菱形的点P的坐标；
(3) 在此抛物线上是否存在点Q，使得以A，C，B，Q四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在, 求出Q点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）抛物线的解析式为，△ABC是直角三角形
（2）P点的坐标为（,） 或（,）
（3）存在，满足题目条件的点Q为(，)或(-，9)

试题分析：(1) 根据题意，将A（，0），B（2，0）代入中，解得
抛物线的解析式为      
当=0时，. ∴点C的坐标为（-1，0）.
∴在△AOC中，AC===。
在△BOC中，BC===。 
AB=OA+OB=+2=，∵AC ²+BC ²=+5=="AB" ²，
∴△ABC是直角三角形。              
(2) 设P点坐标为（x，），交CO于E
∵四边形POPC是菱形，∴PC＝PO．
连结 则PE⊥CO于E，∴OE=EC= ∴=．
∴=   解得=，=
∴P点的坐标为（,） 或（,）
（3）存在。由(1)知，AC^BC，设Q点坐标为（，）
①若以BC为底边，则BC//AQ，∴∠ABC=∠QAB  如图① 
过点Q作QE⊥x轴于点E，则有△QAE∽△ABC  ∴
∴      解得₁=   ₂= -(舍去)。
当=时，y= ，∴点Q(，)。   
k若以AC为底边，则BQ//AC，∴∠CAB=∠QBA
过点Q作QF⊥x轴于点F，则有△QBF∽△BAC  ∴
∴     解得₁=   ₂=" 2" (舍去)。
当=时，y=9，∴点Q(，9)。   
综上所述，满足题目条件的点Q为(，)或(-，9)。
点评：本题考查抛物线，勾股定理逆定理，相似三角形，解答本题需要考生掌握待定系数法，会用待定系数法求抛物线的解析式，熟悉勾股定理逆定理，会用其来判定一个三角形是否是直角三角形，掌握相似三角形的方法，会证明两个三角形相似