Question

如图，抛物线经过点A（-1,0）、B（3,0）、C（0，），连接AC、BC，将△ABC绕点C逆时针旋转，使点A落在x轴上，得到△DCE，此时，DE所在直线与抛物线交于第一象限的点F.

（1）求抛物线对应的函数关系式.
（2）求点A所经过的路线长.
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P使△PDF是等腰三角形.
若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）   （2） （3）P（1,2），（1，-2），（1,2）或（1，

试题分析：（1）抛物线经过点A（-1,0）、B（3,0）、C（0，），那么
，解得，所以抛物线对应的函数关系式为
（2）将△ABC绕点C逆时针旋转，使点A落在x轴上，得到△DCE，则D的坐标（1，0）。所以AD=1+1=2，点A（-1,0）、C（0，），在，是直角，AO=1，CO=，由勾股定理得，同理CD=2，所以三角形ACD是等边三角形，；点A所经过的路线是一个扇形的弧长，圆心角为，半径为AC=2所以扇形的弧长=
（3）抛物线的对称轴上存在点P使△PDF是等腰三角形，抛物线的对称轴；设点P的坐标为（1，a），F的坐标为（x,y），则P、D都在抛物线的对称轴上; 假设△PDF是等腰三角形，FD是腰，则PD=FD，由（1）知D的坐标（1，0），所以PD=，FD= ,则=，而点F在抛物线上，所以F的坐标满足的解析式，解得；当△PDF是等腰三角形，FD是底边，那么PF、PD是腰，所以PF=PD，则PD=，F的坐标为（x,y），F的坐标满足的解析式；PF=，则=，解得a=2或a=,所以P点的坐标为P（1,2），（1，-2），（1,2）或（1，
点评：本题考查抛物线，等腰三角形，要求考生会用待定系数法求函数的解析式，掌握抛物线的性质，熟悉等腰三角形的性质