Question

【题目】已知顶点为的抛物线经过点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）设，分别是轴、轴上的两个动点.

①当四边形的周长最小时，在图1中作直线，保留作图痕迹.并直接写出直线的解析式；

②点是直线上的一个动点，是的中点，以为斜边按图2所示构造等腰.在①的条件下，记与的公共部分的面积为.求关于的函数关系式，并求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①作图见解析；；②S；的最大值为.

【解析】

(1)设出顶点式，直接将B点代入即可完成解答;

(2)①过y，x轴分别做A，B的对称点、，然后连、，当这四点在同一直线时，周长最小，即可画出图形；再确定、,由待定系数法即可得到直线、的解析式，即为直线CD的解析式;

②由①得到直线CD的解析式，即可求出CD与直线y=x的交点坐标，得到△PQR与直线y=x有公共点时x的取值范围，以及公共部分的面积s与x之间的函数关系式，然后根据二次函数确定其最大值即可。

（1）根据题意，设物线的顶点式为，

将代入得，，

∴抛物线解析式为：.

（2）①作图如下：

直线的解析式为.

②如下图：

点，当时，，

解得，

当时，

.

∴当时，；

当时，

，

即时，，

综上：的最大值为.