Question

【题目】已知抛物线与轴交于点和点，与直线交于点和点，为抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的解析式及点的坐标．

（2）点为直线上方抛物线上一点，设为点到直线的距离，当有最大值时，求点的坐标．

（3）若点为直线上一点，作点关于轴的对称点，连接，，当是直角三角形时，直接写出点的坐标．

Answer 1

【答案】（1），点的坐标为；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为或．

【解析】

（1）先由直线解析式求出B点坐标，再把A，B坐标代入抛物线解析式中，求出a,c的值，从而求出抛物线解析式，再把抛物线解析式化成顶点式，求出顶点坐标即可；

（2）过点作轴，交于点，连接，，设点的坐标为，则，写出△PCB面积的表达式，求出△PCB面积最大值所对应的m，从而求出P点坐标；

（3）由题意，知，．设点的坐标为，分别求出，，，在分类讨论①当时，，②当时，，求出t，即可求出F的坐标.

解：（1）∵直线，

令y=0，解得x=3，

∴，

将点，代入抛物线中，

得，解得

∴抛物线的解析式为，

∵，

∴点的坐标为；

（2）过点作轴，交于点，连接，，如解图所示，

由题意，可知有最大值时，有最大值，

设点的坐标为，则，

∴，

∴，

∵，，

∴当时，有最大值，且最大值为，此时有最大值，

∴点的坐标为；

（3）由题意，知，．设点的坐标为，

则，，，

由题，易知，则当是直角三角形时，需分以下两种情况进行讨论，

①当时，，

即，解得，

∴点的坐标为；

②当时，，

即，解得（与点重合，故舍去）或，

∴点的坐标为，

综上所述，点的坐标为或．