Question

如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP=CQ．设AP=x．
（1）当PQ∥AD时，求x的值；
（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；
（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据已知条件，证明四边形APQD是矩形，再根据矩形的性质和AP=CQ求x即可；
（2）连接EP、EQ，则EP=EQ，设BE=y，列出等式（8-x）²+y²=（6-y）²+x²然后根据函数的性质来求x的取值范围；
（3）由图形的等量关系列出方程，再根据函数的性质来求最值．
解答：解：（1）当PQ∥AD时，则
∠A=∠APQ=90°，∠D=∠DQP=90°，
又∵AB∥CD，
∴四边形APQD是矩形，
∴AP=QD，
∵AP=CQ，
AP=CD=，
∴x=4．

（2）如图，连接EP、EQ，则EP=EQ，设BE=y．
∴（8-x）²+y²=（6-y）²+x²，
∴y=．
∵0≤y≤6，
∴0≤≤6，
∴≤x≤．

（3）S_△BPE=•BE•BP=••（8-x）=，
S_△ECQ==•（6-）•x=，
∵AP=CQ，
∴S_BPQC=，
∴S=S_BPQC-S_△BPE-S_△ECQ=24--，
整理得：S==（x-4）²+12（），
∴当x=4时，S有最小值12，
当x=或x=时，S有最大值．
∴12≤S≤．
点评：解答本题时，涉及到了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理以及二次函数的最值等知识点，这是一道综合性比较强的题目，所以在解答题目时，一定要把各个知识点融会贯通，这样解题时才会少走弯路．