题目内容

如果我们定义f（x）=

1+x

，（例如：f（5）=

1+5

），那么：
（1）猜想：f（a）+f（

）=

（a是正整数）
（2）根据你的猜想，试计算下面算式的值：
f（

2004

）+…+f（

）+f（

）+f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2004）=

2004

．

分析：（1）由已知的定义表示出f（a）+f（

），利用同分母分式的加法法则计算，即可得到结果为1；
（2）将所求式子第一项与最后一项结合，第二项与倒数第二项结合，依此类推，求出f（0）的值，利用得到的结论化简，即可得到结果．

解答：解：（1）∵f（a）=

1+a

，f（

）=

1+a

，
∴f（a）+f（

）
=

1+a

a+1

=1；

（2）∵f（0）=

1+0

=0，
根据（2）化简原式=[f（

2004

）+f（2004）]+…+[f（

）+f（2）]+[f（

）+f（1）]+f（0）
=1+1+…+1+0
=2004．
故答案为：（1）1；（2）2004．

点评：此题考查了分式的混合运算，属于规律型试题，归纳总结其中的规律是解本题的关键．

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（a是正整数）
（3）根据你的猜想，试计算下面算式的值：
f（

2004

）+…+f（

）+f（

）+f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2004）．

（2012•海淀区二模）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：
我们定义：如果一个图形绕着某定点旋转一定的角度α （0°＜α＜360°）后所得的图形与原图形重合，则称此图形是旋转对称图形．如等边三角形就是一个旋转角为120°的旋转对称图形．如图1，点O是等边三角形△ABC的中心，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，请你将△ABC分割并拼补成一个与△ABC面积相等的新的旋转对称图形．

小明利用旋转解决了这个问题，图2中阴影部分所示的图形即是与△ABC面积相等的新的旋转对称图形．
请你参考小明同学解决问题的方法，利用图形变换解决下列问题：
如图3，在等边△ABC中，E₁、E₂、E₃分别为AB、BC、CA 的中点，P₁、P₂，M₁、M₂，N₁、N₂分别为AB、BC、CA的三等分点．
（1）在图3中画出一个和△ABC面积相等的新的旋转对称图形，并用阴影表示（保留画图痕迹）；
（2）若△ABC的面积为a，则图3中△FGH的面积为

．

如果我们定义：“到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的开心点。”那么：

（1）如图1，观察并思考，△ABC的开心点有个

（2）如图2，CD为等边三角形ABC的高，开心点P在高CD上，且PD=，则∠APB的度数为

（3）已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，开心点P在AC边上，试探究PA的长。

如果我们定义f（x）= $数学公式$ ，（例如：f（5）= $数学公式$ = $数学公式$ ），那么：
（1）猜想：f（a）+f（ $数学公式$ ）=（a是正整数）
（2）根据你的猜想，试计算下面算式的值：
f（ $数学公式$ ）+…+f（ $数学公式$ ）+f（ $数学公式$ ）+f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2004）=．

如果我们定义f（x）=，（例如：f（5）==），那么：（1）猜想：f（a）+f（）=______（a是正整数）（2）根据你的猜想，试计算下面算式的值：f（）+…+f（）+f（）+f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2004）=______．

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