题目内容
【题目】小明在矩形纸片上画正三角形，他的做法是：①对折矩形纸片ABCD(AB>BC)，使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平；②沿折痕BG折叠纸片，使点C落在EF上的点P处，再折出PB、PC，最后用笔画出△PBC(图1)．
（1）求证：图1中的 
PBC是正三角形：
（2）如图2，小明在矩形纸片HIJK上又画了一个正三角形IMN，其中IJ=6cm，
且HM=JN．
①求证：IH=IJ
②请求出NJ的长；
（3）小明发现：在矩形纸片中，若一边长为6cm，当另一边的长度a变化时，在矩形纸片上总能画出最大的正三角形，但位置会有所不同．请根据小明的发现，画出不同情形的示意图(作图工具不限，能说明问题即可)，并直接写出对应的a的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②12-6
（3）3＜a＜4，a＞4
【解析】（1）由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC，PB=CB，得出PB=PC=CB即可；
（2）①利用“HL”证Rt△IHM≌Rt△IJN即可得；②IJ上取一点Q，使QI=QN，由Rt△IHM≌Rt△IJN知∠HIM=∠JIN=15°，继而可得∠NQJ=30°，设NJ=x，则IQ=QN=2x、QJ=x，根据IJ=IQ+QJ求出x即可得；
（3）由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算，画出图形即可．
（1）证明：∵①对折矩形纸片ABCD(AB>BC)，使AB与DC重合，得到折痕EF
∴PB=PC
∵沿折痕BG折叠纸片，使点C落在EF上的点P处
∴PB=BC
∴PB=PC=BC
∴△PBC是正三角形：
（2）证明：①如图
∵矩形AHIJ
∴∠H=∠J=90°
∵△MNJ是等边三角形
∴MI=NI
在Rt△MHI和Rt△JNI中
∴Rt△MHI≌Rt△JNI（HL）
∴HI=IJ
②在线段IJ上取点Q，使IQ=NQ
∵Rt△IHM≌Rt△IJN，
∴∠HIM=∠JIN，
∵∠HIJ=90°、∠MIN=60°，
∴∠HIM=∠JIN=15°，
由QI=QN知∠JIN=∠QNI=15°，
∴∠NQJ=30°，
设NJ=x，则IQ=QN=2x，QJ=
x，
∵IJ=6cm，
∴2x+x=6，
∴x=12-6，即NJ=12-6（cm）．
（3）分三种情况：
①如图：
设等边三角形的边长为b，则0＜b≤6，
则tan60°=
，
∴a=
，
∴0＜b≤
=
；
②如图
当DF与DC重合时，DF=DE=6，
∴a=sin60°×DE==，
当DE与DA重合时，a=
，
∴＜a＜
；
③如图
∵△DEF是等边三角形
∴∠FDC=30°
∴DF=
∴a＞
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