Question

如图，△ABC中，AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC．CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，交BI延长线于E，连接CI．
（1）△ABC变化时，设∠BAC=2α．若用α表示∠BIC和∠E；
（2）若AB=1，且△ABC与△ICE相似，求相应AC长．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可求解．
（2）根据相似三角形对应边的比相等，即可求解．

解答：解：（1）∠BIC=90°+α，∠E=α

（2）解：∵CI是∠BCA的平分线，CE是∠ACB的外角平分线，
∴∠ICE=∠ICA+∠ACE=

1

2

∠ACB+

1

2

∠ACD=90°，
分情况讨论：
①当△ABC∽△ICE时，∠ABC=∠ICE=90°，∠ACB=∠IEC=α，
所以α=30°，AC=2
②当△ACB∽△ICE时，∠ACB=∠ICE=90°，∠ABC=∠IEC=α，
所以α=30°，AC=

1

2

．
③当△BAC∽△ICE时，∠BAC=∠ICE=90°，∠IEC=

1

2

∠BAC=45°，
所以∠ABC=∠ACB=45°，AC=AB=1．

点评：两三角形相似，注意根据对应边的不同，分情况讨论是解决本题的关键．