Question

甲乙同时从点A出发，在周长为90米的圆形跑道上背向而驰，甲以1.5米/秒的速度作顺时针运动，乙以4.5米/秒的速度作逆时针运动．
（1）出发后经过多少时间他们第一次相遇？
（2）在第一次相遇前，经过多少时间两者相距

45 3

π

米？

Answer 1

考点：垂径定理的应用,一元一次方程的应用

专题：

分析：（1）根据两人的速度得出两人围跑到跑一圈第一次相遇，则（1.5+4.5）x=180，求出即可；
（2）根据题意画出图形得出圆形半径，进而得出cos∠OE₁H，求出∠E₁OF₁，进而利用分类讨论得出答案即可．

解答：解：（1）设经过x秒他们第一次相遇（在A点）
则（1.5+4.5）x=90；
解得x=15；
（2）在△OE₁F₁中，作OH⊥E₁F₁，
设在相遇前经过x秒两者相距

45 3

π

米，
即E₁F₁=

45 3

π

，
∵周长为90米的圆形跑道，
∴2πr=90，
∴r=

45

π

，
∴

HE1

E1O

=

45 3 π × 1 2

45 π

=

3

2

，
∴∠OE₁H=30°，
由Rt△OE₁H，得出∠E₁OH=60°，
∴∠E₁OF₁=120°，
（1.5+4.5）x=

1

3

×90，
解得x=5，
由于圆的对称性还有（1.5+4.5）x=

2

3

×90，
解得x=10，
故在第一次相遇前，经过5秒或10秒两者相距

45 3

π

米．

点评：此题主要考查了垂径定理以及锐角三角函数的应用和相遇问题，利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．