题目内容

如图，Rt△OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OA和OC是方程 $数学公式$ 的两根（OA＞OC），∠CAO=30°，将Rt△OAC折叠，使OC边落在AC边上，点O与点D重合，折痕为CE．
（1）求线段OA和OC的长；
（2）求点D的坐标；
（3）设点M为直线CE上的一点，过点M作AC的平行线，交y轴于点N，是否存在这样的点M，使得以M、N、D、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1） $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
∵OA＞OC
∴OA=3，OC= $\text{[math]}$ ；

（2）在Rt△AOC中，由勾股定理得：
AC=2 $\text{[math]}$
由轴对称得：CO=CD= $\text{[math]}$
∴AD= $\text{[math]}$ ，作DF⊥OA，且∠CAO=30°
∴DF= $\text{[math]}$ ，由勾股定理得：
AF= $\text{[math]}$
∴OF= $\text{[math]}$ ，∴OF=AF
∴D $\text{[math]}$ ；

（3）∵M₁N₁∥AC，
∠N₁M₁F=∠ADF，∠FN₁M₁=∠FAD
∵OF=AF
∴△ADF≌△N₁M₁F（AAS），
∴M₁F=DF= $\text{[math]}$ ，N₁F=AF= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，作MG⊥OA，
∵四边形MCDN和四边形CN₁M₁D是平行四边形
∴MC=ND，ND=CM₁∴MC=CM₁∴GO=OF= $\text{[math]}$ ，OE=1
∴GE= $\text{[math]}$
∴EOC△∽△EGM
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 解得：
MG= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
分析：（1）通过解答题目中的一元二次方程的根就是OA、OC的长．
（2）由折纸可以知道CD=OC，从而求出AD，作DF⊥OA于F解直角三角形可以求出D点的坐标．
（3）存在满足条件的M点，利用三角形全等和平行线等分线段定理可以求出M点对应的坐标．
点评：本题是一道一次函数的综合试题，考查了一元二次方程的根，待定系数法求函数的解析式、勾股定理、全等三角形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的运用．