Question

解答题

已知抛物线y＝(m＋1)x²－2mx＋m(m为整数)经过点A(1，1)，顶点为P，且与x轴有两个不同的交点．

(1)判断点P是否在线段OA上(O为坐标原点)．并说明理由．

(2)设该抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x₁、x₂，且x₁＜x₂，是否存在实数m，使x₁＜m＜x₂？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

∵y＝(m＋1)x2－2mx＋m＝(m＋1)(x－)2＋，∴抛物线的顶点p的坐标为(，)，直线OA对应的一次函数解析式为y＝x．∵抛物线y＝(m＋1)x2－2mx＋m与x轴有两个不同的交点，∴Δ＝(－2m)2－4m(m＋1)＝4m2－4m2－4m＝－4m＞0，又∵m＋1≠0，∴m＜0，且m≠1． 　　(1)点P不在线段OA上(O为坐标原点)，理由如下：由m＜0且m≠－1，可分两种情况讨论，①当－1＜m＜0时，m＋1＞0，＜0，点P在第三象限，此时，点P不在线段OA上，②当m＜－1时，m＋1＜0，＞0，点P在第一象限，∵－1＝＞0，∴＞1，∴点P不在线段OA上，综上所述，点P不在线段OA上． 　　(2)存在实际m满足x1＜m＜x2，下面求m的取值范围令y＝0，得(m＋1)x2－2mx＋m＝0(OA)则x1、x2为方程(*)的两相异实根，且x1＋x2＝，x1，x2＝，(x1－m)(x2－m)＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝，由x1＜m＜x2得x1－m＜0，x2－m＞0，∴(x1－m)(x2－m)＜0，即＜0．∵m＜0，且m≠－1，且m2－m＋1＝(m－)2＋＞0，∴m(m2－m＋1)＜0．根据实数运算的符号法则，可知m＋1＞0，即m＞－1，∴m的取值范围为－1＜m＜0．