Question

7．在本次欧洲杯上有一精彩射门，如图所示，进攻队员站在点O处将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上）．足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间i（单位：s）之间满足函数关系y=at²+5t+c．已知足球飞行1s时，离地面的高度为4m．
（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x=10t，已知球门的高度为2.44m．如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为30m．他能否将球直接射人球门？

Answer 1

分析 （1）待定系数法求出函数解析式，再将解析式配方成顶点式可得最值情况，即可知答案；
（2）把x=30代入x=10t求得t的值，再将t的值代入解析式可得y，从而做出判断．

解答 解：（1）根据题意知y=at²+5t+c经过点（0，0.5）、（1，4），
可得$\left\{\begin{array}{l}{c=0.5}\\{a+5+c=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1.5}\\{c=0.5}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{3}{2}$t²+5t+$\frac{1}{2}$=-$\frac{3}{2}$（t-$\frac{5}{3}$）²+$\frac{14}{3}$，
∴当t=$\frac{5}{3}$时，y_最大值=$\frac{14}{3}$，
答：足球飞行的时间是$\frac{5}{3}$s时，足球离地面最高，最大高度是$\frac{14}{3}$m；

（2）把x=30代入x=10t得t=3，
∴当t=3时，y=-$\frac{3}{2}$（3-$\frac{5}{3}$）²+$\frac{14}{3}$=2＜2.44，
∴他能将球直接射人球门．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，正确求得解析式是解题的关键．