Question

如图1，在平面直角坐标系中，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上．现将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上（如图2），设抛物线y=ax²+bx+c（a＜0），如果抛物线同时经过点O、B、C：
①当n=3时a=    ；
②a关于n的关系式是    ．

Answer 1

【答案】分析：①当n=3时，OC=1，BC=3，设所求抛物线解析式为y=ax2+bx，过C作CD⊥OB于点D，则Rt△OCD∽Rt△CBD，得出ODCD=OCBC=13，设OD=t，则CD=3t，根据勾股定理OD2+CD2=OC2，求出t，得出C的坐标，把B、C坐标代入抛物线解析式即可得到方程组，求出a即可；
②根据a=2、4和①总结规律，可以得到答案．
解答：解：①如图当n=3时，OC=1，BC=3，
设所求抛物线解析式为y=ax²+bx，
过C作CD⊥OB于点D，
则Rt△OCD∽Rt△OBC，
∴，
设OD=t，则CD=3t，
∵OD²+CD²=OC²，
∴（3t）²+t²=1²，∴
∴C（），又B（，0），
∴把B、C坐标代入抛物线解析式，得
解得：a=，
故答案为：．
②当n=2时，OC=1，BC=2，
∴OB=，
∴1×2=CD，B（，0）
∴CD=，
∴OD=，
∴C（，）
设所求抛物线解析式为y=ax²+bx，
∴，
解得：a=-；
同理当n=4时，a=-；
∴可以得出a关于n的关系式是：．

故答案为：，．
点评：本题主要考查相似三角形的性质和判定，正方形的性质，用待定系数法求二次函数的解析式，解二元一次方程组，勾股定理等知识点的理解和掌握．