Question

已知抛物线y=ax² +bx+c与y轴交于点A(0，3)，与x轴交于B(1，0)、C(5，0)两点．  
(1)求此抛物线的解析式；  
(2)若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；  
(3)若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点E)，再到达抛物    线的对称轴上的某点(设为点F)，最后运动到点A.求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．

Answer 1

解：(l)抛物线解析式为．
(2)依题意可得OA的三等分点分别为(0，1)，(0，2)．  
设直线CD的解析式为y=kx+b,  当点D的坐标为(0，1)时，
直线CD的解析式为  当点D的坐标为(0，2)时，
直线CD的解析式为
(3)由题意可得M(0，)，点M关于x轴的对称点为M' (0，-)，点A关于抛物线对称轴x=3的对称点为A'(6，3)．连接A'M'．根据轴对称性及两点间线段最短可知，
A'M'的长就是所求点P运动的最短路径的长，
所以A'M'与x轴的交点为所求E点，与直线x=3的交点为所求F点，
可求得直线A'M'的解析式为y=．
可得E点坐标为(2，0)，F点的坐标为(3，)，
由勾股定理求A'M'=，
所以点P运动的最短总路径(ME-+EF+FA)的长为．