题目内容
6．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=kx+4k与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AO、BO为邻边作矩形AOBC，其面积是8．（1）求直线AB的解析式；
（2）如图2，点P从点O出发，沿线段OA向终点A运动，速度为每秒2个单位长度，点Q从点B出发，沿线段BO向终点O运动，速度为每秒1个单位长度，连接PQ，P、Q两点同时出发，运动时间为t秒，当t为何值时，△CPQ的面积为$\frac{13}{4}$；
（3）如图3，在（2）的条件下，当t=1时，P、Q两点同时停止运动，在x轴上是否存在点M，使得∠MQP=45°？若存在，求出点M坐标，若不存在，请说明理由．
分析 （1）根据矩形的面积公式，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据图形割补法，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案；
（3）根据勾股定理，勾股定理逆定理，可得∠NPQ=90°，∠PON=45°，根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
解答 解：（1）由直线y=kx+4k与x轴交于点A，与y轴交于点B，得
当x=0时，y=4k，即B点坐标为（0，4k），
当y=0时，kx+4k=0，解得x=-4，即（-4，0），
由AO、BO为邻边作矩形AOBC，其面积是8，得
4×4k=8，解得k=$\frac{1}{2}$，
直线AB的解析式是y=$\frac{1}{2}$x+2；
（2）由点P从点O出发，沿线段OA向终点A运动，速度为每秒2个单位长度，点Q从点B出发，沿线段BO向终点O运动，速度为每秒1个单位长度，得
PO=2t，AP=4-2t，QB=t，OQ=2-t．
由S△CPQ=S矩形ACBO-S△ACP-S△POQ-S△BCQ=$\frac{13}{4}$，
8-$\frac{1}{2}$（4-2t）×2-$\frac{1}{2}$•2t（2-t）-$\frac{1}{2}$×4t=$\frac{13}{4}$，
解得t=$\frac{1}{2}$或t=$\frac{3}{2}$，
当t=$\frac{1}{2}$或t=$\frac{3}{2}$时，△CPQ的面积为$\frac{13}{4}$；
（3）存在，点M坐标为（-$\frac{1}{3}$，0）
如图：
t=1时，P（-2，0），Q（0，1），
取N（-1，-2），
PQ2=5，PN25，BN2=10，
PQ2+PN2=NQ2，PQ=PN．
∠NPQ=90°，∠PON=45°．
设NQ的解析式为y=kx+b，将Q、N的坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{-k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{k=3}\end{array}\right.$，
NQ的解析式为y=3x+1，
当y=0时，3x+1=0，
解得x=-$\frac{1}{3}$，
即M（-$\frac{1}{3}$，0）
点评 本题考查了一次函数综合题，利用举行的面积得出B点坐标是解题关键；利用图形割补法得出关于t的方程是解题关键；利用勾股定理、勾股定理的逆定理得出∠PQN是解题关键．
实数a，b，c在数轴上如图所示：化简|a+b|+a-$\sqrt{c^2}$-|b-c|．| 城市 | 伦敦 | 北京 | 东京 | 多伦多 | 纽约 |
| 国际标准时间 | 0 | +8 | +9 | -4 | -5 |
如图，对任意的五角星，结论正确的是（ ）| A． | ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=90° | B． | ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180° | ||
| C． | ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=270° | D． | ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=360° |