Question

【题目】定义：对于已知的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数.例如：正比例函数，它的相关函数为.

（1）已知点在一次函数的相关函数的图像上，求的值；

（2）已知二次函数.

①当点在这个函数的相关函数的图像上时，求的值；

②当时，求函数的相关函数的最大值和最小值.

（3）在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，连结.直接写出线段与二次函数的相关函数的图像有两个公共点时的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）①、 ；②，；（3），

【解析】

（1）先求出的相关函数，然后代入求解，即可得到答案；

（2）先求出二次函数的相关函数，①分为m＜0和m≥0两种情况将点B的坐标代入对应的关系式求解即可；

②当-3≤x＜0时，y=x2-4x+，然后可 此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=-x2+4x-，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当-3≤x≤3时的最大值和最小值；

（3）首先确定出二次函数y=-x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围．

解：（1）根据题意，

一次函数的相关函数为，

∴把点代入，则

，

∴；

（2）根据题意，二次函数的相关函数为，

①当m＜0时，将B（m，）代入y=x2-4x+得m2-4m+，

解得：m=2+（舍去）或m=．
当m≥0时，将B（m，）代入y=-x2+4x-得：-m2+4m-=，

解得：m=2+或m=2．
综上所述：m=或m=或m=．
②当-3≤x＜0时，y=x2-4x+，抛物线的对称轴为x=2，此时y随x的增大而减小，

∴当时，有最大值，即，

∴此时y的最大值为．
当0≤x≤3时，函数y=-x2+4x，抛物线的对称轴为x=2，

当x=0有最小值，最小值为，

当x=2时，有最大值，最大值y=．
综上所述，当-3≤x≤3时，函数y=-x2+4x的相关函数的最大值为，最小值为；

（3）如图1所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．

∴当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3．
如图2所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．

∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1，
∴-n=1，解得：n=-1．
∴当-3＜n≤-1时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
如图3所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．

∵抛物线y=-x2+4x+n经过点（0，1），
∴n=1．
如图4所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．

∵抛物线y=x2-4x-n经过点M（，1），
∴+2-n=1，解得：n=．
∴1＜n≤时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
综上所述，n的取值范围是-3＜n≤-1或1＜n≤．