Question

如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．

（1）求证：∠APB=∠BPH；

（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；

（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

解:（1）∵PE=BE，

∴EBP=EPB．

又∵EPH=EBC=90°，

∴EPH-EPB=EBC-EBP．

即PBC=BPH．

又∵AD∥BC，

∴APB=PBC．

∴APB=BPH．

（2）△PHD的周长不变，为定值 8．

证明：过B作BQ⊥PH，垂足为Q．

由（1）知APB=BPH，

又∵A=BQP=90°，BP=BP，

∴△ABP≌△QBP．

∴AP=QP, AB=BQ．

又∵ AB=BC，

∴BC = BQ．

又∵C=BQH=90°，BH=BH，

∴△BCH≌△BQH．

∴CH=QH．

∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8.

（3）过F作FM⊥AB，垂足为M，则.

又EF为折痕，

∴EF⊥BP.

∴，

∴．

又∵A=EMF=90°，

∴△EFM≌△BPA．

∴=x．

∴在Rt△APE中，．

解得，．

∴．

又四边形PEFG与四边形BEFC全等，

∴．

即：．

配方得，，∴当x=2时，S有最小值6．