Question

如图所示，现有一张边长为6的正方形纸片，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP．

（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）通过证明PBC=BPH，APB=PBC来得出∠APB=∠BPH；（2）存在，当x=3时，S有最小值13.5

解析试题分析：解：（1）∵PE=BE，
∴EBP=EPB．
又∵EPH=EBC=90°，
∴EPH-EPB=EBC-EBP．
即PBC=BPH．
又∵AD∥BC，
∴APB=PBC．
∴APB=BPH．
（2）过F作FM⊥AB，垂足为M，则.
又EF为折痕，∴EF⊥BP.
∴，
∴．
又∵A=EMF=90°，
∴△EFM≌△BPA．
∴=x．
∴在Rt△APE中，．
解得，．
∴．
又四边形PEFG与四边形BEFC全等，
∴．
即：．
配方得，，∴当x=3时，S有最小值13.5．
考点：四边形与二次函数
点评：本题主要考查四边形，是一道几何题，把几何题与二次函数相结合，解决本题的关键是找出边、角的关系，列出关系式来，以及就是有关二次函数最值的问题，用配方法求最值