题目内容
6．等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P上，三角板绕P点旋转．（1）如图a，当三角板的两边分别交AB，AC于点E，F时，求证：△BPE∽△CFP；
（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA边的延长线，AC边于点E，F
①探究1，△BPE与△CFP还相似吗？请说明理由；
②探究2，若BC=4$\sqrt{3}$，BE=6时，试求线段CF的长度；
③探究3，连结EF，△CPF与△PEF是否相似？请说明理由．
分析 （1）找出△BPE与△CFP的对应角，其中∠BPE+∠CPF=150°，∠CPF+∠CFP=150°，得出∠BPE=∠CFP，从而解决问题；
（2）①小题同（1）可证；
②小题可通过对应边成比例代入数据即可得到结果；
③由①证得△BPE∽△CFP，得到 $\frac{CP}{BE}=\frac{PF}{PE}$，等量代换得到$\frac{BP}{PF}$=$\frac{BE}{PE}$，由于∠EBP=∠EPF，即可证得结论．
解答 （1）证明：∵在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°．
∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，
∴∠BPE+∠BEP=150°，
又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，∠EPF=30°，
∴∠BPE+∠CPF=150°，
∴∠BEP=∠CPF，
∴△BPE∽△CFP，
（2）①△BPE与△PFE相似．
理由如下：
在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°
∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，
∴∠BPE+∠BEP=150°，
又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，∠EPF=30°，
∴∠BPE+∠CPF=150°，
∴∠BEP=∠CPF，
∴△BPE∽△CFP；
②由①知△BPE∽△CFP，
∴$\frac{PB}{CF}=\frac{BE}{PC}$，
∵P为BC的中点，
∴BP=PC=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{3}$，
∵BE=6，
∴$\frac{2\sqrt{3}}{CF}$=$\frac{6}{2\sqrt{3}}$，
∴CF=2；
③由①证得△BPE∽△CFP，
∴$\frac{CP}{BE}=\frac{PF}{PE}$，
∵CP=BP，
∴$\frac{BP}{PF}$=$\frac{BE}{PE}$，
又∵∠EBP=∠EPF，
∴△BPE∽△PFE．
点评 此题考查相似的综合题．关键是根据相似三角形的判定和性质解题，它以每位学生都有的30°三角板在图形上的运动为背景，既考查了学生图形旋转变换的思想，静中思动，动中求静的思维方法，又考查了学生动手实践、自主探究的能力．
如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成．如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于10．