Question

【题目】已知中，，交于，且，，，，则的长度为________.

Answer 1

【答案】

【解析】

过B作BF⊥CD于F，BG⊥BF交AD的延长线于G，则四边形DGBF是矩形，由矩形的性质得到BG=DF，DG=FB．由△BFC是等腰直角三角形，得到FC=BF=2．

设DE=9x，则CE=7x，EF=CE-FC=7x-2，BG=DF=16x-2，DG=FB=2．

在Rt△ADC和Rt△AGB中，由AC=AB，利用勾股定理得到AD=16x-2．

证明△FEB∽△DEA，根据相似三角形的对应边成比例可求出x的值，进而得到AD，DE的长．在Rt△ADE中，由勾股定理即可得出结论．

如图，过B作BF⊥CD于F，BG⊥BF交AD的延长线于G，

∴四边形DGBF是矩形，

∴BG=DF，DG=FB．

∵∠BCD=45°，

∴△BFC是等腰直角三角形．

∵BC=，

∴FC=BF=2．

设DE=9x，则CE=7x，EF=CE-FC=7x-2，BG=DF=16x-2，DG=FB=2．

在Rt△ADC和Rt△AGB中，∵AC=AB，

∴，

∴，

解得：AD=16x-2．

∵FB∥AD，

∴△FEB∽△DEA，

∴，

∴，

∴28x2-16x+1=0，

解得：x=或x=．

当x=时，7x-2＜0，不合题意，舍去，

∴x=，

∴AD=16x-2=6，DE=9x=，

∴AE=．

故答案为：．