题目内容
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB，BC所
在直线解析式为y=-
x+
，作∠BCD角平分线交AB于点G．
（1）求点G的坐标；
（2）动点E从点G出发沿射线GA方向运动，速度为1个单位长度/秒，作射线CE，将射线CE绕点C顺时针旋转60°交直线DG于点P，设△AEP的面积为S，点E的运动时间为t（秒），求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，设M为线段PC中点，连接OM交EC于点F．交CG于点N，是否存在t值，使
=
？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
在直线解析式为y=-| 3 |
3
| ||
| 2 |
（1）求点G的坐标；
（2）动点E从点G出发沿射线GA方向运动，速度为1个单位长度/秒，作射线CE，将射线CE绕点C顺时针旋转60°交直线DG于点P，设△AEP的面积为S，点E的运动时间为t（秒），求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，设M为线段PC中点，连接OM交EC于点F．交CG于点N，是否存在t值，使
| FN |
| ON |
| 1 |
| 3 |
分析：（1）首先根据BC的直线解析式计算出B、C两点坐标，进而得到BC、DC、AD、BG的长，再根据BO=
，即可得到G点坐标；
（2）作PH⊥AG于点H，然后分两种情况：当0≤t＜3时和当t＞3时，分别进行计算；
（3）延长PG交y轴于点Q，设CE与PG相交于点K，可证△COB≌△QOG，再根据中位线的性质可证出△CMN∽△CPG，再根据相似三角形的性质可得
=
=
，进而得到CN=NG，然后证△CFN∽△CKG，计算出DK，再再证△CDK∽△GEK可得EG，进而得到t的值．
| 3 |
| 2 |
（2）作PH⊥AG于点H，然后分两种情况：当0≤t＜3时和当t＞3时，分别进行计算；
（3）延长PG交y轴于点Q，设CE与PG相交于点K，可证△COB≌△QOG，再根据中位线的性质可证出△CMN∽△CPG，再根据相似三角形的性质可得
| CM |
| CP |
| CN |
| CG |
| 1 |
| 2 |
解答：
解：（1）如图1，
∵直线BC：y=-
x+
，
∴B（
，0），C（0，
），
又∵∠BOC=90°，
∴BC=3，
∵梯形ABCD中AB∥CD，AD=DC=CB，
∴AD=DC=CB=3，
∵CG平分∠BCD，
∴∠BCG=∠DCG=∠CGB，
∴BC=BG=3，
又∵BO=
，
∴GO=
，
∴G（-
，0）；
（2）如图2，当0≤t＜3时，
∵BC=BG，∠CBG=60°，
∴△BCG为等边三角形，
∴CG=BC=BG=CD，
又∵∠PCE=∠GCB=∠DCG=∠CGD=60°，
∴∠PCG=∠ECB，
∴△PCG≌△ECB，
∴PG=BE=3+t，
作PH⊥AG于点H，
∴PH=PG•sin∠DGA=
（3+t），
又∵AE=3-t，
∴S=
AE•PH=-
t2+
，
当t＞3时，同理S=
AE•PH=
t2-
，
（3）如图3，延长PG交y轴于点Q，设CE与PG相交于点K，
在△COB和△QOG中
∴△COB≌△QOG，
∴CO=OG且CM=PM．
∴MO是△CPQ的中位线，
∴MO∥PQ，
∴△CMN∽△CPG，
∴
=
=
，
∴CN=NG，
在Rt△COG中：ON=
CG=
，且
=
，
∴FN=
，
∵可证△CFN∽△CKG，
∴
=
=
，
∴KG=1，
∵DG=3，
∴DK=2，
∵CD∥AO，
∴∠CDK=∠EGK，∠DCK=∠GEK，
∴△CDK∽△GEK，
∴
=
=2，CD=3，
∴EG=
，
∴t=
．
解：（1）如图1，∵直线BC：y=-
| 3 |
3
| ||
| 2 |
∴B（
| 3 |
| 2 |
3
| ||
| 2 |
又∵∠BOC=90°，
∴BC=3，
∵梯形ABCD中AB∥CD，AD=DC=CB，
∴AD=DC=CB=3，
∵CG平分∠BCD，
∴∠BCG=∠DCG=∠CGB，
∴BC=BG=3，
又∵BO=
| 3 |
| 2 |
∴GO=
| 3 |
| 2 |
∴G（-
| 3 |
| 2 |
（2）如图2，当0≤t＜3时，
∵BC=BG，∠CBG=60°，
∴△BCG为等边三角形，
∴CG=BC=BG=CD，
又∵∠PCE=∠GCB=∠DCG=∠CGD=60°，
∴∠PCG=∠ECB，
∴△PCG≌△ECB，
∴PG=BE=3+t，
作PH⊥AG于点H，
∴PH=PG•sin∠DGA=
| ||
| 2 |
又∵AE=3-t，
∴S=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
9
| ||
| 2 |
当t＞3时，同理S=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
9
| ||
| 2 |
（3）如图3，延长PG交y轴于点Q，设CE与PG相交于点K，
在△COB和△QOG中
|
∴△COB≌△QOG，
∴CO=OG且CM=PM．
∴MO是△CPQ的中位线，
∴MO∥PQ，
∴△CMN∽△CPG，
∴
| CM |
| CP |
| CN |
| CG |
| 1 |
| 2 |
∴CN=NG，
在Rt△COG中：ON=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| FN |
| ON |
| 1 |
| 3 |
∴FN=
| 1 |
| 2 |
∵可证△CFN∽△CKG，
∴
| FN |
| KG |
| CN |
| CG |
| 1 |
| 2 |
∴KG=1，
∵DG=3，
∴DK=2，
∵CD∥AO，
∴∠CDK=∠EGK，∠DCK=∠GEK，
∴△CDK∽△GEK，
∴
| CD |
| EG |
| DK |
| KG |
∴EG=
| 3 |
| 2 |
∴t=
| 3 |
| 2 |
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，题目综合性较强，注意考虑问题要全面，不要漏掉各种情况．
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