Question

如图，梯形ABCD中，F是CD的中点，AF⊥AB，E是BC边上的一点，且AE=BE．若AB=m（m为常数），则EF的长为

 

．

Answer 1

分析：延长AF，与BC的延长线交于点G，由AD与CG平行，根据两直线平行得到两对内错角相等，又F为DC中点，得到一对边相等，从而利用“AAS”证明两三角形全等，从而得到F为AG中点，又根据AB与AG垂直，得到角BAE与角EAF互余，且角B与角G互余，由AE与BE相等，根据等边对等角得到角B等于角BAE，根据等角的余角相等得到角EAF与角G相等，根据等角对等边得到AE与EG相等，利用等量代换可得E为BG中点，从而得到EF为三角形ABG的中位线，根据中位线定理即可求出EF的长．

解答：解：延长AF，与BC的延长线交于点G，
∵AD∥BC，∴∠DAF=∠G，∠D=∠FCG，
又F为DC中点，∴DF=CF，
∴△ADF≌△GCF，
∴AF=GF，即F为AG的中点，
又AB⊥AF，∴∠BAF=90°，
∴∠BAE+∠EAF=90°，∠B+∠G=90°，
∵AE=BE，∴∠BAE=∠B，
∴∠EAF=∠G，
∴AE=EG，又AE=BE，∴BE=EG，即E为BG中点，
∴EF为△ABG的中位线，又AB=m，
∴EF=

1

2

AB=

1

2

m．
故答案为：

1

2

m

点评：本题主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，梯形等知识点，作辅助线构造平行四边形和三角形是解此题的关键．