题目内容

如图，在△ABC中，∠C=90°，D，E是BC边上的两点，且∠ABC= $数学公式$ ∠ADC= $数学公式$ ∠AEC，已知BD=11，DE=5，求AC长．

解：∵∠ABC= $\text{[math]}$ ∠ADC= $\text{[math]}$ ∠AEC，∴∠ABC=∠DAE，
又∵∠AEB=∠DEA（公共角），∴△ADE∽△BAE，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
由∠ABD=∠BAD，得AD=BD=11，BE=BD+DE=16．
∴AE²=BE•DE=16×5=80，AE=4 $\text{[math]}$ ，AB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
设EC=x，AC=y，由AB²=BC²+AC²得 $\text{[math]}$ =（16+x）²+y²，
即 $\text{[math]}$ =16²+32x+x²+y²，但x²+y²=AE²=80，
于是 $\text{[math]}$ =256+32x+80，
x= $\text{[math]}$ =1.6，y²=80- $\text{[math]}$ =77.44，
y=8.8．
分析：分析角的关系可知△ADE∽△BAE，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．然后设EC=x，AC=y，根据勾股定理列方程，由AB²=BC²+AC²得 $\text{[math]}$ =（16+x）²+y²，求得x、y即可．
点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质和勾股定理的理解和掌握，解答此题的关键是分析角的关系求证△ADE∽△BAE，得出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．此题难度较大，属于难题．