题目内容
如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），D（1，a）在直线BC上，⊙A是以A为圆心，AD为半径的圆．（1）求a的值；
（2）求证：⊙A与BC相切；
（3）在x负半轴上是否存在点M，使MC与⊙A相切，若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由；
（4）线段AD与y轴交于点E，过点E的任意一直线交⊙A于P、Q两点，问是否存在一个常数K，始终满足PE•QE=K，如果存在，请求出K的值；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）由已知求直线BC的解析式，将D点横坐标代入直线BC解析式求a的值；
（2）分别求AD，BD的长，证明AD2+BD2=AB2，利用勾股定理的逆定理判断∠ADB=90°即可；
（3）存在．设M（m，0），连接MC，当MC与⊙M相切时，利用计算△OCM的面积的方法，列方程求m的值；
（4）存在．延长DA交⊙A于G点，利用相交弦定理求常数K．
解答：解：（1）∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
将D（1，a）代入，得a=-1+3=2；
（2）∵AD2=（1+1）2+22=8，BD2=（3-1）2+22=8，AB2=（1+3）2=16，
∴AD2+BD2=AB2，
∴∠ADB=90°，即：⊙A与BC相切；
（3）存在．
设M（m，0），连接MC，过A点作AN⊥CM，垂足为N，
则MC=
，由AN×CM=AM×CO，得AN=
，
当MC与⊙M相切时，AN=AD=2
，即
=2
，
解得m=-21或3（舍去正值），即M（-21，0）；
（4）存在．
延长DA交⊙A于G点，由A、D两点坐标可知，直线AD：y=x+1，
∴E（0，1），
AE=ED=
，AG=2
，
由相交弦定理，得PE•QE=ED•EG=
×3
=6，即K=6．
点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据已知点求直线解析式，运用点的坐标判断直线与圆相切，运用切线的性质求m的值，运用相交弦定理求常数K．
（2）分别求AD，BD的长，证明AD2+BD2=AB2，利用勾股定理的逆定理判断∠ADB=90°即可；
（3）存在．设M（m，0），连接MC，当MC与⊙M相切时，利用计算△OCM的面积的方法，列方程求m的值；
（4）存在．延长DA交⊙A于G点，利用相交弦定理求常数K．
解答：解：（1）∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
将D（1，a）代入，得a=-1+3=2；
（2）∵AD2=（1+1）2+22=8，BD2=（3-1）2+22=8，AB2=（1+3）2=16，
∴AD2+BD2=AB2，
∴∠ADB=90°，即：⊙A与BC相切；
（3）存在．
设M（m，0），连接MC，过A点作AN⊥CM，垂足为N，
则MC=
，由AN×CM=AM×CO，得AN=，当MC与⊙M相切时，AN=AD=2
，即=2，解得m=-21或3（舍去正值），即M（-21，0）；
（4）存在．
延长DA交⊙A于G点，由A、D两点坐标可知，直线AD：y=x+1，
∴E（0，1），
AE=ED=
，AG=2，由相交弦定理，得PE•QE=ED•EG=
×3=6，即K=6．点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据已知点求直线解析式，运用点的坐标判断直线与圆相切，运用切线的性质求m的值，运用相交弦定理求常数K．
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