题目内容

如图，在公路的同侧有两个村庄A、B，村庄A到公路的最短距离为AD=20千米（AD⊥CD），村庄B到公路的最短距离为BC=5千米（BC⊥CD），且CD=20千米．
（1）两个村庄A、B之间的距离是多少千米？现要在C、D之间建造一个中转站M，要求M到A、B两个村庄的路程和最短，则中转站M到A、B两个村庄的路程和最短是________千米（结果保留根号）
（2）现要在公路上建一观测点P，要求P、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，问观测点P应建在距离C点多少千米的地方？

（1）解：过B作BF⊥AD于F，则四边形BFDC是矩形，
即BF=DC=20，DF=BC=5，
所以AF=20-5=15，
在Rt△AFB中，由勾股定理得：AB= $\text{[math]}$ =25，
即两个村庄A、B之间的距离是25千米．
作A关于DC的对称点E，连接BE交DC于M，则此时M点到A、B两个村庄的路程和最短，
∵AD⊥DC，BC⊥DC，
∴AE∥BC，
∴△DEM∽△CBM，

∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴CM= $\text{[math]}$ CD= $\text{[math]}$ ×20=4，DM=20-4=16，
∵在R△ADM和Rt△BCM中，由勾股定理得：AM= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$ ，
BM= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴AM+BM=5 $\text{[math]}$ ，
故答案为：5 $\text{[math]}$ ．

（2）解：分为三种情况：
①以A为圆心，以AB为半径画弧交直线CD于P₁、P₂两点，此两点都符合题意；

AP₁=AP₂=AB=25，
由勾股定理得：DP₁= $\text{[math]}$ =15=DP₂，
即CP₁=20+15=35，CP₂=20-15=5；
②以B为圆心，以AB为半径画弧交直线CD于P₃、P₄两点，此两点都符合题意；

则BP₃=BP₄=AB=25，
由勾股定理得：CP₃= $\text{[math]}$ =10 $\text{[math]}$ =CP₄；
③作AB的垂直平分线交直线CD于P₅，此点符合题意；

则AP₅=BP₅，
设DP₅=x，由勾股定理得： $\text{[math]}$ =20²+x²， $\text{[math]}$ =5²+（20-x）²，
即20²+x²=5²+（20-x）²，
x= $\text{[math]}$ ，
∴CP₅=20- $\text{[math]}$ =19 $\text{[math]}$ ；
答：观测点P应建在距离C点35千米或5千米或10 $\text{[math]}$ 千米或19 $\text{[math]}$ 千米的地．
分析：（1）过B作BF⊥AD于F，得出矩形BCDF，根据勾股定理即可求出AB长，作A关于DC的对称点E，连接BE交DC于M，则此时M点到A、B两个村庄的路程和最短，根据△DEM∽△CBM得出比例式求出CM、DM长，根据勾股定理求出AM和BM即可；
（2）分为三种情况：①以A为圆心，以AB为半径画弧交直线CD于P₁、P₂两点，此两点都符合题意，根据勾股定理求出即可；②以B为圆心，以AB为半径画弧交直线CD于P₃、P₄两点，此两点都符合题意，根据勾股定理求出即可；③作AB的垂直平分线交直线CD于P₅，此点符合题意，根据勾股定理求出即可．
点评：本题考查了勾股定理和轴对称-最短路线问题，等腰三角形的判定等知识点，主要考查学生综合运用进行计算的能力，本题难度偏大，有一定的难度．