Question

【题目】若，是关于的一元二次方程的两个根，则方程的两个根，和系数，，有如下关系：，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理，请利用此定理解答一下问题：

已知，是一元二次方程的两个实数根．

（1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请你说明理由；

（2）若，求的值和此时方程的两根．

Answer 1

【答案】（1）存在，12（2），；，

【解析】

（1）先根据根的判别式得到m的取值范围为m≥0且m≠3，再根据根与系数的关系得x1+x2=，x1x2=，然后利用-x1+x1x2=4+x2得，再解关于m的方程即可；

（2）先利用完全平方公式变形得到（x1-x2）2=3，即（x1+x2）2-4x1x2=3，再把，，代入得到（-）2-4×=3，解得m1=1，m2=9，

然后分别把m的值代入原方程，并且利用公式法解方程．

（1）存在．

∵，是一元二次方程的两个实数根，

∴且，

∴的取值范围为且，

根据根与系数的关系得，，

∵，

∴，

∴，

∴；

（2）∵，

∴，即，

∴，解得，，

当时，原方程变形为，解得，；

当时，原方程变形为，解得，．