Question

已知：抛物线y＝x²－(2m＋4)x＋m²－10与x轴交于A、B两点，C是抛物线的顶点．

(1)用配方法求顶点C的坐标(用含m的代数式表示)；

(2)“若AB的长为2，求抛物线的解析式．”解法的部分步骤如下，补全解题过程，并简述步骤①的解题依据，步骤②的解题方法．

　　解：由(1)知，对称轴与x轴交于点D(　　，0)．

　　∵抛物线的对称性及AB＝2，

　　∴AD＝BD＝|x_A－x_D|＝．

　　∵点A(x_A，0)在抛物线y＝(x－h)²＋k上，

　　∴0＝(x_A－h)²＋k．　　①

　　∵h＝x_C＝x_D，将|x_A－x_D|＝代入上式，得到关于m的方程

　　0＝()²＋(　　)　　②

(3)将(2)中的条件“AB的长为2”改为“△ABC为等边三角形”，用类似的方法求出此抛物线的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1) 　　∵y＝x2－(2m＋4)x＋m2－10 　　＝[x－(m＋2)]2－4m－14． 　　∴顶点C的坐标为(m＋2，－4m－14)． 　　(2)由(1)知，对称轴与x轴交于点D(m＋2，0)． 　　∵抛物线的对称性及AB＝2， 　　∴AD＝DB＝|xA－xD|＝． 　　∵点A(xA，0)在抛物线y＝(x－h)2＋k上， 　　∴0＝(xA－h)2＋k．　　① 　　∴h＝xC＝xD，将|xA－xD|＝代入上式，得到关于m的方程 　　0＝()2＋(－4m－14)．　　② 　　解得m＝－3． 　　当m＝－3时，抛物线y＝x2＋2x－1与x轴有交点，且AB＝2，符合题意． 　　∴所求抛物线的解析式为 　　y＝x2＋2x－1． 　　步骤①的解题依据；抛物线上一点的坐标满足此函数解析式； 　　步骤②的解题方法：代入法． 　　(3)∵△ABC是等边三角形， 　　∴由(1)知 　　CD＝|－4m－14| 　　＝4m＋14(－4m－14＜0)， 　　AD＝BD＝CD＝(4m＋14) 　　＝|xA－xD|． 　　∵点A(xA，0)在抛物线上， 　　∴0＝(xA－h)2＋k． 　　∵h＝xC＝xD， 　　将|xA－xD|＝(4m＋14)代入上式， 　　得0＝(4m＋14)2－4m－14． 　　∵－4m－14＜0， 　　∴(4m＋14)－1＝0 　　解得m＝－． 　　当m＝－时，抛物线y＝x2＋x－与x轴有交点，且符合题意． 　　∴所求抛物线的解析式为 　　y＝x2＋x－．