Question

如图所示，一元二次方程x²+2x-3=0的两根x₁，x₂（x₁＜x₂）是抛物线y=ax²+bx+c与x轴的两个交点C，B的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC交于点Q，求点P，Q的坐标．
（3）在x轴上是否存在以动点M，使MQ+MA有最小值，若存在求出点M的坐标和最小值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出一元二次方程x²+2x-3=0的两个根就可以求出抛物线y=ax²+bx+c与x轴的两个交点C，B的坐标，再有待定系数法就可以直接求出抛物线的解析式．
（2）由（1）的解析式化为顶点式就可以求出抛物线的顶点坐标和对称轴，再根据A、C的坐标就可以求出直线的解析式，再将顶点坐标的横坐标代入解析式就可以求出交点坐标．
（3）根据（2）求得的P、Q的坐标得知P、Q关于x轴对称，由轴对称的性质连接AP，与x轴的交点即为所求点M，求出P、Q的解析式就可以求出M的坐标，由勾股定理就可以求出MQ+MA的最小值．
解答：解（1）解方程x²+2x-3=0，得x₁=-3，x₂=1，
∴交点C（-3，0），B（1，0），
设解析式为y=a（x+3）（x-1），
∵点A（3，6）在抛物线上，所以解得，
∴；

（2）由，
可知顶点P的坐标（-1，-2），对称轴为x=-1．
设AC线段的解析式为y=kx+b，
∵A（3，6），C（-3，0）在直线上，
∴，
解得k=1，b=3，
∴y=x+3．
将x=-1代入得y=2，所以Q点的坐标为（-1，2）；

（3）存在．理由如下：
∵点P、Q关于x轴对称，
∴连接AP，与x轴的交点即为所求点M，连接QM，
∴QM=PM，
∴QM+AM=PM+AM．
设直线AP的解析式为y=ax+k．
同上理可得a=2，k=0，∴y=2x；
令y=0，则x=0，所以点M的坐标为（0，0）．
过点A向PQ做垂线，垂足为H，则AH=4，PH=8，
在RT△AHP中，PA=，

∴MQ+MA=．
点评：本题考查了待定系数法求抛物线的解析式和直线的解析式，根与系数的关系，二次函数的性质，勾股定理的运用及轴对称最短路线问题．