Question

【题目】已知关于的方程．

求证：无论取任何实数时，方程总有实数根；

当抛物线（为正整数）图象与轴两个交点的横坐标均为整数，求此抛物线的解析式；

已知抛物线恒过定点，求出定点坐标．

Answer 1

【答案】证明见解析 ； 、

【解析】

（1）分类讨论：该方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况．当该方程为一元二次方程时，根的判别式△≥0，方程总有实数根；

（2）通过解kx2+（2k+1）x+2=0得到k=1，由此得到该抛物线解析式为y=x2+3x+2，结合图象回答问题．

（3）根据题意得到kx2+（2k+1）x+2-y=0恒成立，由此列出关于x、y的方程组，通过解方程组求得该定点坐标．

证明：①当时，方程为，所以，方程有实数根，

②当时，∵，即，

∴无论取任何实数时，方程总有实数根；

解：令，则，

解关于的一元二次方程，得，，

∵二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为整数，且为正整数，

∴．

∴该抛物线解析式为；

依题意得恒成立，即恒成立，

则，

解得或．

所以该抛物线恒过定点、．