Question

如图所示，菱形ABCD的边长为6cm，∠DAB=60°，点M是边AD上一点，DM=2cm，点E、F分别从A、C同时出发，以1cm/s的速度分别沿边AB、CB向点B运动，EM、CD的延长线相交于G，GF交AD于O．设运动时间为x（s），△CGF的面积为y（cm²）．
（1）当x为何值时，GD的长度是2cm？
（2）求y与x之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，使得线段GF把菱形ABCD分成的上、下两部分的面积之比为1：5？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵DC∥AB，
∴△DMG∽△AME，
∴，
∴，
即当x=4s时，GD的长度是2cm．

（2）∵△DMG∽△AME，
∴，
∴，
∴GC=，
过F作FH⊥DC于H点，
∴FH=CF•sin60°=，
∴y=GC•FH，
=．

（3）设运动x（s）时，GF分菱形上、下两部分的面积比为1：5，
此时△OGD∽△FGC，
∴，
∴，
过D作DP⊥BC于P，则PD=6×sin60°=，
由题意知，，
即，
解得：（舍去），
经检验：是原方程的解．
∴当时，GF分菱形上、下两部分的面积比为1：5．
分析：（1）易证△DMG∽△AME，故有=，故有当x=4s时，GD的长度是2cm．
（2）过F作FH⊥DC于H点，则有y=GC•FH，故利用相似三角形的性质和正弦的概念求得GC和FH的值即可，
（3）过D作DP⊥BC于P，由菱形的高PD=6×sin60°=，求得菱形的面积，所以当S_梯形ODCF=S_菱形时有使得线段GF把菱形ABCD分成的上、下两部分的面积之比为1：5，利用相似三角形的性质，用x表示出梯形的上下底OD，CF，代入面积公式中建立方程而求解．
点评：本题利用了菱形和梯形的性质，锐角三角函数的概念，相似三角形的判定和性质，分式方程的解法，