Question

49、如图所示，在△ABC中，AB=AC，P为BC的中点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，EM⊥AC于M，FN⊥AB于N，EM与FN相交于点Q，那么四边形PEQF是菱形吗？说明你的理由．

Answer 1

分析：根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形．要证四边形PEQF是菱形，先证四边形PEQF是平行四边形，再证PE=PF即可．

解答：解：四边形PEQF是菱形．理由如下：
∵PE⊥AB，FN⊥AB，
∴PE∥FN．
同理，PF∥EM．
∴四边形PEQF是平行四边形．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
又∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠BEP=∠CFP=90°．
又∵BP=CP，
∴△BEP≌△CFP（AAS）．
∴PE=PF．
∴四边形PEQF是菱形．

点评：本题利用了：
1、平行四边形的判定和性质；
2、全等三角形的判定和性质；
3、菱形的判定．