Question

【题目】如图，是边长为的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点停止运动，设点的运动时间.

解答下列各问题：

（1）求的面积

（2）当为何值时，是直角三角形？

（3）设四边形的面积为，求与的关系式；是否存在某一时刻，使四边形的面积是面积的三分之二？如果存在，求出的值；不存在请说明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3），不存在，理由见解析.

【解析】

（1）根据等边三角形的面积公式计算即可；

（2）先用t的代数式表示出BP，BQ，再分∠BPQ=90°和∠BQP=90°两种情况，在直角△BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可；

（3）先用t的代数式表示出△BPQ的面积，然后用△ABC的面积减去△BPQ的面积即得y与t的函数关系式；假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的，可得关于t的一元二次方程，再根据方程根的判别式即得结果.

解：（1）的面积=；

（2）设经过t秒△PBQ是直角三角形，则AP=tcm，BQ=tcm，

在△ABC中，AB=BC=6cm，∠B=60°，∴BP=（6－t）cm，

若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°，

当∠BQP=90°时，BQ=BP，即t=（6－t），解得：t=2，

当∠BPQ=90°时，BP=BQ，即6－t=t，解得：t=4，

∴当t=2或t=4时，△PBQ是直角三角形．

（3）过P作PM⊥BC于M，如图，

在△BPM中，∵sinB=，∴PM=PBsinB=（6－t），

∴S△PBQ=BQPM=，

∴==，

∴y与t的关系式为：y=；

假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的，

则S四边形APQC=S△ABC，∴=，

∴，∵（－6）2－4×1×12＜0，∴方程无解，

∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的．