题目内容

如图，已知点A的坐标为（ $数学公式$ ，3），AB⊥x轴，垂足为B，连接OA，反比例函数 $数学公式$ （k＞0）的图象与线段OA、AB分别交于点C、D，若AB=3BD．
（1）求点C的坐标；
（2）以点C为圆心，CA的 $数学公式$ 倍的长为半径作圆，试判断该圆与x轴的位置关系．

解：（1）∵A（ $\text{[math]}$ ，3），AB=3BD，
∴D（ $\text{[math]}$ ，1），
∵点D在反比例函数y= $\text{[math]}$ 的图象上，
∴k= $\text{[math]}$ ，
∴反比例函数的解析式为y= $\text{[math]}$ ，
设直线OA的解析式为y=kx（k≠0），则3= $\text{[math]}$ k，解得k= $\text{[math]}$ ，
∴直线OA的解析式为y= $\text{[math]}$ x，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ （舍去），
∴C（1， $\text{[math]}$ ）；

（2）过C点做CE垂直于OB于点E，
∵A（ $\text{[math]}$ ，3），C（1， $\text{[math]}$ ），
∴AC= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
∵C（1， $\text{[math]}$ ），
∴OC=2，
∴CA=2 $\text{[math]}$ -2，
∴ $\text{[math]}$ CA= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ -1），CE= $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ -1）- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ＞0，
∴该圆与x轴相交．
分析：（1）先根据A（ $\text{[math]}$ ，3），AB=3BD求出D点坐标，进而可得出反比例函数y= $\text{[math]}$ 的解析式，用待定系数法求出直线OA的解析式，求出直线与反比例函数的交点坐标即可；
（2）过C点做CE垂直于OB于点E，由A、C两点的坐标求出AC的长，根据C点坐标得出OC的长，进而得出CA的长，再比较出 $\text{[math]}$ CA与CE长度的大小即可．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式等知识，难度适中．