Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=7，CD=1，AD=BC=5。点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F。

（1）求梯形ABCD的面积；
（2）求四边形MEFN面积的最大值；
（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H， ∵AB∥CD， ∴DG=CH，DG∥CH， ∴四边形DGHC为矩形，GH=CD=1， ∵DG=CH，AD=BC，∠AGD=∠BHC=90°， ∴△AGD≌△BHC（HL）， ∴AG=BH==3， ∵在Rt△AGD中，AG=3，AD=5， ∴DG=4， ∴。
（2）∵MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB， ∴ME=NF，ME∥NF， ∴四边形MEFN为矩形， ∵AB∥CD，AD=BC， ∴∠A=∠B， ∵ME=NF，∠MEA=∠NFB=90°， ∴△MEA≌△NFB（AAS）， ∴AE=BF， 设AE=x，则EF=7-2x， ∵∠A=∠A，∠MEA=∠DGA=90°， ∴△MEA∽△DGA， ∴， ∴ME=， ∴， 当x=时，ME=<4， ∴四边形MEFN面积的最大值为。 （3）能。 由（2）可知，设AE=x，则EF=7-2x，ME=， 若四边形MEFN为正方形，则ME=EF， 即，解得， ∴， ∴四边形MEFN能为正方形，其面积为。