Question

11．如图，矩形纸片ABCD中，现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，
（1）连接CF，四边形AECF是什么特殊的四边形？为什么？
（2）若AB=4cm，AD=8cm，你能求出线段BE及折痕EF的长吗？

Answer 1

分析 （1）直接利用翻折变换的性质结合平行四边形的判定与性质以及结合菱形的判定方法得出答案；
（2）利用（1）中所求，结合勾股定理得出EF，BE的长．

解答 解：（1）四边形AECF是菱形，
理由：连接CF，
∵矩形纸片ABCD中，现将A、C重合，
∴AE=EC，∠AEF=∠CEF，∠AFE=∠FEC，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AF=AE，
可得：AF$\stackrel{∥}{=}$EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AE=EC，
∴平行四边形AECF是菱形；

（2）设BE=x，则AE=8-x，
故在Rt△ABE中，
AB²+BE²=AE²，
即4²+x²=（8-x）²，
解得：x=3，
即BE=3cm，
过点F作FN⊥BC于点N，
则FN=AB=4cm，
∵AF=AE=5cm，
∴EN=BN-BE=5cm-3cm=2cm，
∴在Rt△FEN中，EF=$\sqrt{E{N}^{2}+F{N}^{2}}$=2$\sqrt{5}$cm．

点评 此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理、菱形的判定与性质等知识，正确掌握翻折变换的性质是解题关键．