题目内容

在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且OA=1，OC=2．将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形DEFG（如图1）．
（1）若抛物线y=-x²+bx+c经过点B和F，求此抛物线的解析式；
（2）将矩形DEFG以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移，平移t秒时，所成图形如图2所示．
①图2中，在0＜t＜1的条件下，连接BF，BF与（1）中所求抛物线的对称轴交于点Q，设矩形DEFG与矩形OABC重合部分的面积为S₁，△AQF的面积为S₂，试判断S₁+S₂的值是否发生变化？如果不变，求出其值；
②在0＜t＜3的条件下，P是x轴上一点，请你探究：是否存在t值，使以PB为斜边的Rt△PFB与Rt△AOC相似？若存在，直接写出满足条件t的值及点P的坐标；若不存在，请说明理由（利用图3分析探索）．

解：（1）B（-1，2），F（2，1）
∵抛物线y=-x²+bx+c经过点B和F，
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
所求抛物线y=-x²+ $\text{[math]}$

（2）①如图，连接AQ，AF，延长FE交AB于点M，
由题意得：OD=t，FM=3-t，
（1）中所求抛物线的对称轴为直线 $\text{[math]}$

∴S₁=DE•OD=t
S₂=S_△AFB-S_△AQB= $\text{[math]}$ •2•（3-t）- $\text{[math]}$ •2• $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$
∴S₁+S₂= $\text{[math]}$
S₁+S₂的值不变
②存在满足题意的t值，t₁=1，t₂= $\text{[math]}$ ，此时点P的坐标为（ $\text{[math]}$ ，0）及（- $\text{[math]}$ ，0）
（说明：写出一个t值及对应的点P坐标，给3分）
下面给出求t值及点P坐标的一种思路，供参考．如图1，
过点F作FP⊥FB，FP交x同于点P，延长FE交AB于点M，
要使Rt△PFB∽Rt△AOC，

只要FB：FP=2：1，
而Rt△BMF∽Rt△PGF，
∴ $\text{[math]}$
只须 $\text{[math]}$ ，即3-t=2，t=1
此时点P的坐标为 $\text{[math]}$
要使Rt△PFB∽Rt△AOC，只要FB：FP=1：2，
同理只须 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
此时矩形DEFG所在位置如图2所示，点P的坐标为（- $\text{[math]}$ ，0）．
∴t₁=1， $\text{[math]}$ ，
故点P的坐标为（ $\text{[math]}$ ，0）及（- $\text{[math]}$ ，0）．
分析：（1）首先确定点B、F的坐标，将点的坐标代入函数解析式，解方程组即可求得；
（2）①首先求得对称轴，根据题意用t表示出S₁、S₂的值即可求得．
②利用相似三角形的性质即可求得：过点F作FP⊥FB，FP交x同于点P，延长FE交AB于点M，
要使Rt△PFB∽Rt△AOC，只要FB：FP=2：1即可，而Rt△BMF∽Rt△PGF，所以根据 $\text{[math]}$ 只须 $\text{[math]}$ ，列出方程解答即可求出此时点P的坐标．
点评：此题考查了二次函数与四边形的综合知识，解题时要仔细审题，理解题意；特别是要注意数形结合思想与方程思想的应用．