题目内容

求作一点P，使PE＝PF，并且使点P到∠AOB的两边距离相等．

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如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝9，BC＝12，AB＝a，在线段BC上任取一点P，连结DP，作射线PE⊥DP，PE与直线AB交于点E．

(1)试确定CP＝3时，点E的位置；

(2)若设CP＝x，BE＝y，试写出y关于自变量x的函数关系式；

(3)若在线段BC上能找到不同的两点P1，P2，使按上述作法得到的点E都与点A重合，试求出此时a的取值范围．

(1)观察发现如图(1)：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP＋BP的值最小，做法如下：

作点B关于直线m的对称点，连接A，与直线m的交点就是所求的点P，线段A的长度即为AP＋BP的最小值．

如图(2)：在等边三角形ABC中，AB＝2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP＋PE的值最小，做法如下：

作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP＋PE的最小值为________．

(2)实践运用

如图(3)：已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP＋AP的值最小，则BP＋AP的值最小，则BP＋AP的最小值为________．

(3)拓展延伸

如图(4)：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM＋PN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3 cm，BC＝7 cm，∠B＝60°，P为下底上一点(不与B、C重合)，连结AP，过P点作PE交DC于E，使∠APE＝∠B．

(1)求证：△ABP∽△PCE

(2)求等腰梯形的腰AB的长．

(3)在底边BC上是否存在一点P，使DE∶EC＝5∶3，若存在，求BP的长，若不存在请说明理由．

如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，且AB＝AC＝4．P为AB上一点，过P作PE⊥AB分别BC、OA于E、F

(1)设AP＝1，求△OEF的面积．

(2)设AP＝a(0＜a＜2)，△APF、△OEF的面积分别记为S1、S2．

①若S1＝S2，求a的值；

②若S＝S1＋S2，是否存在一个实数a，使S＜？

若存在，求出一个a的值；若不存在，说明理由．

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