题目内容
如图所示，抛物线与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），以AB为直径作⊙M，过抛物在线一点P作⊙M的切线PD切点为D，并与⊙M的切线AE相交于点E，连结DM并延长交⊙M于点N，连结AN、AD。
（1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标；
（2）若四边形EAMD的面积为
，求直线PD的函数关系式；
（3）抛物在线是否存在点P，使得四边形EAMD的面积等于△DAN的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
（1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标；
（2）若四边形EAMD的面积为
，求直线PD的函数关系式；（3）抛物在线是否存在点P，使得四边形EAMD的面积等于△DAN的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
解：（1）因为抛物线与x轴交于点
两点，设抛物线的函数关系式为：
∵抛物线y与轴交于点
∴
∴a=1
所以，抛物线的函数关系式为：
，
又
因此，抛物线的顶点坐标为（1，-4）；
（2）连结EM，
∵
是
的两条切线，
∴
∴
又四边形
的面积为
∴
∴
又
∴
因此，点E的坐标为
或
当点E在第二象限时，切点D在第一象限，
在直角三角形EAM中，
∴
∴
过切点D作
，垂足为点F
∴
因此，切点D的坐标为
，
设直线PD的函数关系式为
，
将
的坐标代入得
解之，得
所以，直线PD的函数关系式为
，
当E点在第三象限时，切点D在第四象限，
同理可求：切点D的坐标为
直线PD的函数关系式为
因此，直线PD的函数关系式为
或
；
（3）若四边形
的面积等于
的面积
又
∴
∴E、D两点到x轴的距离相等，
∵PD与
相切，
∴点D与点E在x轴同侧，
∴切线PD与x轴平行，
此时切线PD的函数关系式为
或
当
时，由
得，
当
时，由
得，
故满足条件的点P的位置有4个，分别是
。
两点，设抛物线的函数关系式为： ∵抛物线y与轴交于点
∴
∴a=1
所以，抛物线的函数关系式为：
，又
因此，抛物线的顶点坐标为（1，-4）；
（2）连结EM，
∵
是的两条切线， ∴
∴
又四边形
的面积为∴
∴
又
∴
因此，点E的坐标为
或 当点E在第二象限时，切点D在第一象限，
在直角三角形EAM中，
∴
∴
过切点D作
，垂足为点F ∴
因此，切点D的坐标为
，设直线PD的函数关系式为
，将
的坐标代入得解之，得
所以，直线PD的函数关系式为
，当E点在第三象限时，切点D在第四象限，
同理可求：切点D的坐标为
直线PD的函数关系式为
因此，直线PD的函数关系式为
或；（3）若四边形
的面积等于的面积又
∴
∴E、D两点到x轴的距离相等，
∵PD与
相切，∴点D与点E在x轴同侧，
∴切线PD与x轴平行，
此时切线PD的函数关系式为
或当
时，由得，当
时，由得， 故满足条件的点P的位置有4个，分别是
。
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