题目内容
1．如图，已知抛物线y=-$\frac{1}{4}$x2+bx+c交x轴于点A（2，0）、B（-8，0），交y轴于点C，过点A、B、C三点的⊙M与y轴的另一个交点为D．（1）求此抛物线的表达式及圆心M的坐标；
（2）设P为弧BC上任意一点（不与点B，C重合），连接AP交y轴于点N，请问：AP•AN是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；
（3）延长线段BD交抛物线于点E，设点F是线段BE上的任意一点（不含端点），连接AF．动点Q从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到点F，再沿线段FB以每秒$\sqrt{5}$个单位的速度运动到点B后停止，问当点F的坐标是多少时，点Q在整个运动过裎中所用时间最少？
分析 （1）利用交点式可写出抛物线解析式为y=-$\frac{1}{4}$x2-$\frac{3}{2}$x+4，再求出C点坐标，然后利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，则根据圆周角定理的推论可判断AB为直径，从而得到圆心M点的坐标；
（2）如图1，利用圆周角定理得到∠APB=90°，则可证明△APB∽△AON．然后利用相似比可得到AN•AP=20，即AP•AN为定值；
（3）先根据垂径定理得到OD=OC=4，则D（0，-4），易得直线BD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-4，过F点作FG⊥x轴于G，如图2，通过证明△BFG∽△BDO得到$\frac{BF}{FG}$=$\frac{BD}{OD}$=$\sqrt{5}$，则点Q沿线段FB以每秒$\sqrt{5}$个单位的速度运动到点B所用时间等于点Q以每秒1个单位的速度运动到G点的时间，于是判断当AF+FG的值最小时，点Q在整个运动过裎中所用时间最少，作∠EBI=∠ABE，BI交y轴于I，作FH⊥BI于H，则FH=FG，当点A、F、H共线时，AF+FH的值最小，此时AH⊥BI，如图2，作DK⊥BI，垂足为K，设DI=m，证明△IDK∽△IBO得到BI=2m，
则利用勾股定理得到82+（4+m）2=（2m）2，解得m1=4（舍去），m2=$\frac{20}{3}$，从而得到I（0，-$\frac{32}{3}$），接下来利用待定系数法确定直线BI的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x-$\frac{32}{3}$，再确定直线AH的解析式，然后求直线BE和AH的交点坐标即可．
解答 解：（1）抛物线解析式为y=-$\frac{1}{4}$（x+8）（x-2），
即y=-$\frac{1}{4}$x2-$\frac{3}{2}$x+4；
当x=0时，y=-$\frac{1}{4}$x2-$\frac{3}{2}$x+4=4，则C（0，4）
∴BC=4$\sqrt{5}$，AC=2$\sqrt{5}$，AB=10，
∵BC2+AC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
∴AB为直径，
∴圆心M点的坐标为（-3，0）；
（2）以AP•AN为定值．理由如下：
如图1，
∵AB为直径，
∴∠APB=90°，
∵∠APB=∠AON，∠NAO=∠BAP，
∴△APB∽△AON．
∴AN：AB=AO：AP，
∴AN•AP=AB•AO=20，
所以AP•AN为定值，定值是20；
（3）∵AB⊥CD，
∴OD=OC=4，则D（0，-4），
易得直线BD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-4，
过F点作FG⊥x轴于G，如图2，
∵FG∥OD，
∴△BFG∽△BDO，
∴$\frac{BF}{BD}$=$\frac{FG}{OD}$，即$\frac{BF}{FG}$=$\frac{BD}{OD}$=$\frac{4\sqrt{5}}{4}$=$\sqrt{5}$，
∴点Q沿线段FB以每秒$\sqrt{5}$个单位的速度运动到点B所用时间
等于点Q以每秒1个单位的速度运动到G点的时间，
∴当AF+FG的值最小时，点Q在整个运动过裎中所用时间最少，
作∠EBI=∠ABE，BI交y轴于I，
作FH⊥BI于H，则FH=FG，
∴AF+FG=AF+FH，
当点A、F、H共线时，AF+FH的值最小，此时AH⊥BI，如图2，
作DK⊥BI，垂足为K，
∵BE平分∠ABI，
∴DK=DO=4，
设DI=m，
∵∠DIK=∠BIO，
∴△IDK∽△IBO，
∴$\frac{DI}{BI}$=$\frac{DK}{OB}$=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，
∴BI=2m，
在Rt△OBI中，82+（4+m）2=（2m）2，解得m1=4（舍去），m2=$\frac{20}{3}$，
∴I（0，-$\frac{32}{3}$），
设直线BI的解析式为y=kx+n，
把B（-8，0），I（0，-$\frac{32}{3}$）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-8k+n=0}\\{n=-\frac{32}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{32}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线BI的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x-$\frac{32}{3}$，
∵AH⊥BI，
∴直线AH的解析式可设为y=$\frac{3}{4}$x+q，
把A（2，0）代入得$\frac{3}{2}$+q=0，解得q=-$\frac{3}{2}$，
∴直线AH的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x-4}\\{y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴F（-2，-3），
即当点F的坐标是（-2，-3）时，点Q在整个运动过裎中所用时间最少．
点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、圆周角定理和角平分线的性质；会利用待定系数法求一次函数和二次函数解析式；利用两点之间线段最短解决最短路径问题，会利用勾股定理和相似比进行几何计算．
如图，在Rt△ABC 中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB．设BE=a，DC=b，那么AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$）．（用含a、b的式子表示AB）
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=$\frac{1}{3}$BD，连接DN、MN．若AB=6．
如图，一次函数y=x+m的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为（2，1）．
如图，反比例函数y1=$\frac{k}{x}$的图象与一次函数y2=$\frac{1}{4}$x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4，点P（1，m）在反比例函数y1=$\frac{k}{x}$的图象上．