Question

【题目】定义：如图，

已知，把线段分割成，，，若，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点．

（1）已知，把线段分割成，，，若，，，则点，是线段的勾股分割点吗？请说明理由；

（2）已知点，是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长．

Answer 1

【答案】(1)点M、N是线段AB的勾股分割点，理由见解析；(2) 8或10

【解析】

(1)由AM=1.5，MN=2.5，BN=2，根据勾股定理逆定理得出以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，再根据线段勾股分割点的定义即可判断；
(2)设，则，分两种情形①当MN为最大线段时，依题意，②当BN为最大线段时，依题意，分别列出方程即可解决问题．

(1)点M、N是线段AB的勾股分割点．

理由如下：
∵，
∴，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M、N是线段AB的勾股分割点；
(2)设，则，
①当为最大线段时，依题意，
即，
解得：；
②当BN为最大线段时，依题意．
即，
解得：；
综上所述，BN=8或10．