Question

5．已知关于x的方程x²-（2k+1）x+k²+1=0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L的长．

Answer 1

分析 （1）根据方程解的个数结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）当k=2时，原方程为x²-5x+5=0，设方程的两个为m、n，根据根与系数的关系找出m+n=5、mn=5，将$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$变形为$\sqrt{（m+n）^{2}-2mn}$，再代入数据即可得出结论．

解答 解：（1）∵方程x²-（2k+1）x+k²+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=[-（2k+1）]²-4×1×（k²+1）=4k-3＞0，
∴k＞$\frac{3}{4}$．
（2）当k=2时，原方程为x²-5x+5=0，
设方程的两个为m、n，
∴m+n=5，mn=5，
∴$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{（m+n）^{2}-2mn}$=$\sqrt{15}$．

点评 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握当方程有两个不相等的实数根时△＞0是解题的关键．