题目内容
如图所示，已如AB是⊙O的直径，⊙O的切线PA与弦BC的延长线相交于点P，∠PBA的平分线交PA于点D，∠ABC=30°。
（1）求∠ADB的度数；
（2）若PA=2cm，求BC的长。
（1）求∠ADB的度数；
（2）若PA=2cm，求BC的长。
解：（1）∵PA是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴∠PAB=90°，
∵BD平分∠PBA，
∴∠ABD=
∠PBA=
×30°=15°，
∴∠ADB=90°-∠ABD=75°；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠PCA=∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠PAC=∠PAB-∠BAC=30°，
在Rt△PAC中，PA=2，∠PCA=90°，
∴PC=
PA=1，
在Rt△ABP中，∠ABP=30°，∠PAB=90°，
∴PB=2AP=2×2=4，
∴BC=PB-PC=3（cm）。
∴∠PAB=90°，
∵BD平分∠PBA，
∴∠ABD=
∠PBA=×30°=15°，∴∠ADB=90°-∠ABD=75°；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠PCA=∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠PAC=∠PAB-∠BAC=30°，
在Rt△PAC中，PA=2，∠PCA=90°，
∴PC=
PA=1，在Rt△ABP中，∠ABP=30°，∠PAB=90°，
∴PB=2AP=2×2=4，
∴BC=PB-PC=3（cm）。
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