Question

如图，在平面直角坐标系中，点A是动点且纵坐标为4，点B是线段OA上的一个动点，过点B作直线MN平行于x轴，设MN分别交射线OA与x轴所成的两个角的平分线于点E、F．
（1）求证：EB=BF；
（2）当

OB

OA

为何值时，四边形AEOF是矩形？证明你的结论；
（3）是否存在点A、B，使四边形AEOF为正方形？若存在，求点A与B的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线的性质以及等角对等边即可得出BO=BF，BO=BE，进而求出答案；
（2）根据当

OB

OA

=

1

2

时，首先求出四边形AEOF是平行四边形，进而得出利用角平分线的性质得出∠EOF=90°，即可得出四边形AEOF是矩形；
（3）根据当A点在y轴时，即A点坐标为（0，4）时，有OA⊥EF，此时，取OA的中点B（0，2），由（2）知四边形AEOF是矩形，进而即可得出四边形AEOF为正方形．

解答：（1）证明：如图所示；
∵OF是∠AOX的角平分线，
∴∠1=∠2，
∵MN∥x轴，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∴BO=BF，
同理可证BO=BE，
∴EB=BF，

（2）解：当

OB

OA

=

1

2

，四边形AEOF是矩形，
∵

OB

OA

=

1

2

，
∴OB=AB，
又∵BE=BF，
∴四边形AEOF是平行四边形，
∵OE、OF是角平分线，
∴∠EOF=90°，
∴四边形AEOF是矩形；

（3）解：存在点A、B使四边形AEOF为正方形，如图所示，
∵MN∥x轴，
∴当A点在y轴时，即A点坐标为（0，4）时，有OA⊥EF，此时，取OA的中点B（0，2），由（2）知四边形AEOF是矩形，
∴四边形AEOF为正方形，
∴存在A（0，4），B（0，2），使四边形AEOF为正方形．

点评：此题主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和角平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练地应用矩形判定与正方形的判定是解决问题的关键．