Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x²+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），过点A的直线y=kx+1交抛物线于点C（2，3）。
（1）求直线AC及抛物线的解析式；
（2）若直线y=kx+1与抛物线的对称轴交于点E，以点E为中心将直线y=kx+1顺时针旋转90°得到直线l，设直线l与y轴的交点为P，求△APE的面积；
（3）若G为抛物线上一点，是否存在x轴上的点F，使以B、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵点C（2，3）在直线y=kx+1上，
∴2k+1=3．
解得k=1．
∴直线AC的解析式为y=x+1．
∵点A在x轴上，
∴A（﹣1，0）．
∵抛物线y=﹣x²+bx+c过点A、C，
∴解得
∴抛物线的解析式为y=﹣x²+2x+3．
（2）由y=﹣x²+2x+3=﹣（x﹣1）²+4，可得抛物线的对称轴为x=1，B（3，0）．
∴E（1，2）．
根据题意，知点A旋转到点B处，直线l过点B、E．
设直线l的解析式为y=mx+n．
将B、E的坐标代入y=mx+n中，
联立可得m=﹣1，n=3．
∴直线l的解析式为y=﹣x+3．
∵P（0，3）．过点E作ED⊥x轴于点D．
∴S_△PAE=S_△PAB﹣S_△EAB=AB·PO﹣AB·ED=×4×（3﹣2）=2．
（3）存在，点F的坐标分别为（3﹣，0），（3+，0），
（﹣1﹣，0）（﹣1+，0）．