Question

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax²+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？
（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．

Answer 1

解：（1）A（1，4）。
由题意，设抛物线解析式为y=a（x﹣1）²+4
∵抛物线过点C（3，0），∴0=a（3﹣1）²+4，解得，a=﹣1。
∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）²+4，即y=﹣x²+2x+3。
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵A（1，4），C（3，0），
∴，解得。
∴直线AC的解析式为y=﹣2x+6。
∵点P（1，4﹣t），
∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，解得点E的横坐标为。
∴点G的横坐标为，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为。
∴GE=（）﹣（4﹣t）=。
又点A到GE的距离为，C到GE的距离为，
∴。
∴当t=2时，S_△ACG的最大值为1。
（3）或。

解析