Question

在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B。
（1）求直线CB的解析式；
（2）若抛物线y=ax²+bx+c的顶点在直线BC上，与x 轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式；
（3）试判断点C是否在抛物线上？
（4） 在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与△AOC相似？直接写出两组这样的点．

Answer 1

解：（1）连接AC，则AC⊥BC， ∵OA=2，AC=4， ∴OC=， 又∵Rt△AOC∽Rt△COB， ∴， ∴OB=6， ∴点C坐标为（0，），点B坐标为（-6，0）， 设直线BC的解析式为y=kx+b，可求得直线BC的解析式为； （2）由题意得，⊙A与x轴的交点分别为E（-2，0）、F（6，0）， 抛物线的对称轴过点A为直线x=2， ∵抛物线的顶点在直线BC上， ∴抛物线顶点坐标为（2，）， 设抛物线解析式为y=a（x-2）2+， ∵抛物线过点E（-2，0）， ∴0=a（-2-2）2+，解得a=-， ∴抛物线的解析式为y=-（x-2）2+， 即； （3）点C在抛物线上，因为抛物线与y轴的交点坐标为（0，），如图； （4）存在，这三点分别是E、C、F与E、C′、F，C′的坐标为（4，），即△ECF∽△AOC、△EC′F∽△AOC，如图。