Question

如图，下列几何体是由若干棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），观察该图，探究其中的规律．

（1）第1个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有______个．第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有______个．
（2）设第n个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数为M，请用含字母n的代数式表示M；
（3）求出前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数的和．

Answer 1

解：（1）观察图形可得第1个几何体中最底层的4个角的小立方体只有2个面涂色；第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有5×4=20个故答案为：4 20 …
（2）观察图形可知：图①中，两面涂色的小立方体共有4个；
图②中，两面涂色的小立方体共有12个；
图③中，两面涂色的小立方体共有20个．
4，12，20都是4的倍数，可分别写成4×1，4×3，4×5的形式，
因此，第n个图中两面涂色的小立方体共有4（2n-1）=8n-4，
∴M=8n-4 （n为正整数）…
（3）（8×1-4）+（8×2-4）+（8×3-4）+（8×4-4）+（8×5-4）+…+（8×100-4）
=8（1+2+3+4+…+100）-100×4=40000
故前100个图形的点数和为40000．…
分析：（1）第1个几何体中最底层的4个角的小立方体只有2个面涂色；第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有5×4=20个；
（2）根据所给图形中只有2个面涂色的小立方体的块数得到第n个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数与4的倍数的关系即可；
（3）根据（2）得到的规律，进行计算即可．
点评：考查图形的变化规律；得到所求块数与4的倍数的关系是解决本题的关键．