Question

直线y=-

1

3

x+1分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD，抛物线y=ax²+bx+c经过A、C、D三点．
（1）写出点A、B、C、D的坐标；
（2）求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；
（3）在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出直线与x轴、y轴的交点坐标，得到△AOB，旋转后得到△COD，由图即可得到点A、B、C、D的坐标；
（2）设出二次函数的一般式，将A、C、D三点的坐标代入列出方程组即可求解；
（3）先假设存在，根据相似三角形的判定列出比例式，计算点Q的坐标，若能计算出来，则存在；否则不存在．

解答：解：（1）A（3，0），B（0，1），C（0，3），D（-1，0）；（4分）

（2）∵抛物线y=ax²+bx+c经过C点，
∴c=3．（1分）
又∵抛物线经过A，D两点，
∴

9a+3b+3=0 a-b+3=0

，
解得

a=-1 b=2

（2分）
∴y=-x²+2x+3（1分）
∴y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点G（1，4）．（1分）

（3）解：过点G作GH⊥y轴垂足为点H，
∵AB=

10

，BG=

10

，
∵tan∠BAO=

1

3

，tan∠GBH=

1

3

，
∴∠BGH=∠BAO（1分）
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BGH+∠ABO=90°，
∴∠GBA=90°，
∴∠ABQ=∠DOC=∠AOB（1分）
①当

OD

OC

=

BQ

BA

时，△ODC∽△BQA，
即

1

3

=

BQ

10

，
∴BQ=

10

3

（1分）
过点Q作QN⊥y轴，垂足为点N，设Q（x，y），
∵

NQ

BQ

=

HG

BG

，

|x|

10 3

=

1

10

，|x|=

1

3

，x=±

1

3

∵tan∠GBH=

1

3

，
∴BN=1，
∴Q1(

1

3

，2)，Q2(-

1

3

，0)（2分）
②同理可得：Q₃（3，10），Q₄（-3，-8）．（2分）

点评：此题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题、旋转变换及待定系数法求函数解析式及点的存在性问题，综合性很强，难度较大，要仔细对待．