Question

已知二次函数y=4x²+bx+

1

16

（b²+b），b取任何实数时，它的图象都是一条抛物线．
（1）现在有如下两种说法：
①b取任何不同的数值时，所对应的抛物线都有着完全相同的形状；
②b取任何不同的数值时，所对应的抛物线都有着不相同的形状．
你认为哪一种说法正确，为什么？
（2）若b=-1，b=2时对应的抛物线的顶点分别为A，B，请你求出直线AB的解析式；
（3）在（2）中所确定的直线AB上有一点C，且点C的纵坐标为-1，问：在x轴上是否存在点D使△COD为等腰三角形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，简单说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于抛物线的形状只与抛物线的二次项系数有关，显然①的说法是正确的．
（2）将b=-1、b=2分别代入抛物线的解析式中，用配方法求出两条抛物线的顶点坐标，也就得到了A、B点的坐标，从而利用待定系数法求出直线AB的解析式．
（3）根据（2）题得到的直线AB的解析式，可确定点C的坐标；由于△COD的腰和底不确定，分：①OC=OD、②OC=CD、③OD=CD三种情况讨论即可．

解答：解：（1）抛物线的开口方向和形状只与二次项系数有关，与一次项系数和常数项无关，
故①的说明是正确的．

（2）当b=-1时，y=4x²-x=4（x-

1

8

）²-

1

16

，
故A（

1

8

，-

1

16

）；
当b=2时，y=4x²+2x+

3

8

=4（x+

1

4

）²+

1

8

，
故B（-

1

4

，

1

8

）；
设直线AB的解析式为：y=kx+b，则有：

1 8 k+b=- 1 16 - 1 4 k+b= 1 8

，
解得

k=- 1 2 b=0

，
故直线AB的解析式为：y=-

1

2

x．

（3）当y=-1时，-1=-

1

2

x，x=2，
故C（2，-1）；
可得OC=

5

；
若△COD是等腰三角形，则有：
①OC=OD，则OD=

5

；
∴D₁（-

5

，0），D₂（

5

，0）；
②OC=CD；
根据等腰三角形三线合一的性质知：C点位于OD的垂直平分线上，
故D₃（4，0）；
③OD=CD；
此时D位于OC的垂直平分线上，则∠OCD₄=∠OD₃C=∠COD₄，
则△OD₄C∽△OCD₃，得OC₂=OD₄•OD₃，
由于OC=

5

，OD₃=4，
可求得OD₄=

5

4

，
故D₄（

5

4

，0）；
综上所述，存在4个符合条件的D点，它们的坐标为：D₁（-

5

，0），D₂（

5

，0），D₃（4，0），D₄（

5

4

，0）．

点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系、函数解析式的确定、等腰三角形的构成情况等知识点；（3）题中，由于等腰三角形的腰和底不确定，一定要分类讨论，以免漏解．