Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，tanB=．半径为2的⊙C， 分别交AC、BC于点D、E，得到 .

（1）求证：AB为⊙C的切线；

（2）求图中阴影部分的面积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）5-π

【解析】分析：（1）过点C作CF⊥AB于点F。根据三角函数的计算公式和勾股定理可得BC、AB的长，根据三角形的面积公式可求得CF的长，因为CF的长等于圆的半径长，利用切线的判定即可证明。（2）根据三角形的面积公式、扇形的面积公式以及阴影部分的面积等于△ABC的面积与扇形DCE的面积之差，即可求得阴影部分的面积.

详解：（1）证明：过C作CF⊥AB于F，

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，tanB==，

∴BC=2，

由勾股定理得：AB==5，

∵△ACB的面积S==，

∴CF==2，

∴CF为⊙C的半径，

∵CF⊥AB，

∴AB为⊙C的切线；

（2）解：图中阴影部分的面积=S△ACB﹣S扇形DCE=××2﹣=5﹣π．